苹果版怎么下载不了[ch05-00] 多变量线性回归问题

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第5章 多入单出的单层神经网络

5.0 多变量线性回归问题

5.0.1 提出问题

问题:在北京通州,距离通州区中心15公里的一套93平米的房子,大概是多少钱?

房价预测问题,成为了机器学习的一个入门话题,著名的波士顿的房价数据及相关的比赛已经很多了,但是美国的房子都是独栋的,前院后院停车库游泳池等等参数非常多,初学者可能理解起来有困难。我们不妨用简化版的北京通州的房价来举例,感受一下房价预测的过程。

影响北京通州房价的因素有很多,居住面积、地理位置、朝向、学区房、周边设施、建筑年份等等,其中,面积和地理位置是两个比较重要的因素。地理位置信息一般采用经纬度方式表示,但是经纬度是两个特征值,联合起来才有意义,因此,我们把它转换成了到通州区中心的距离。

我们有1000个样本,每个样本有两个特征值,一个标签值,示例如表5-1。

表5-1 样本数据

样本序号 地理位置 居住面积 价格(万元)
1 10.06 60 302.86
2 15.47 74 393.04
3 18.66 46 270.67
4 5.20 77 450.59
... ... ... ...
  • 特征值1 - 地理位置,统计得到:
    • 最大值:21.96公里
    • 最小值:2.02公里
    • 平均值:12.13公里
  • 特征值2 - 房屋面积,统计得到:
    • 最大值:119平米
    • 最小值:40平米
    • 平均值:78.9平米
  • 标签值 - 房价,单位为百万元:
    • 最大值:674.37
    • 最小值:181.38
    • 平均值:420.64

这个数据是三维的,所以可以用两个特征值作为x和y,用标签值作为z,在xyz坐标中展示如表5-2。

表5-2 样本在三维空间的可视化

正向 侧向

从正向看,很像一块草坪,似乎是一个平面。再从侧向看,和第4章中的直线拟合数据很像。所以,对于这种三维的线性拟合,我们可以把它想象成为拟合一个平面,这个平面会位于这块“草坪”的中位,把“草坪”分割成上下两块更薄的“草坪”,最终使得所有样本点到这个平面的距离的平方和最小。

5.0.2 多元线性回归模型

由于表中可能没有恰好符合15公里、93平米条件的数据,因此我们需要根据1000个样本值来建立一个模型,来解决预测问题。

通过图示,我们基本可以确定这个问题是个线性回归问题,而且是典型的多元线性回归,即包括两个或两个以上自变量的回归。多元线性回归的函数模型如下:

\[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k\]

具体化到房价预测问题,上面的公式可以简化成:

\[ z = x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2 + b \]

抛开本例的房价问题,对于一般的应用问题,建立多元线性回归模型时,为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果,应首先注意自变量的选择,其准则是:

  1. 自变量对因变量必须有显著的影响,并呈密切的线性相关;
  2. 自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的,而不是形式上的;
  3. 自变量之间应具有一定的互斥性,即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度;
  4. 自变量应具有完整的统计数据,其预测值容易确定。

5.0.3 解决方案

如果用传统的数学方法解决这个问题,我们可以使用正规方程,从而可以得到数学解析解,然后再使用神经网络方式来求得近似解,从而比较两者的精度,再进一步调试神经网络的参数,达到学习的目的。

我们不妨先把两种方式在这里做一个对比,读者阅读并运行代码,得到结果后,再回到这里来仔细体会表5-3中的比较项。

表5-3 两种方法的比较

方法 正规方程 梯度下降
原理 几次矩阵运算 多次迭代
特殊要求 \(X^TX\)的逆矩阵存在 需要确定学习率
复杂度 \(O(n^3)\) \(O(n^2)\)
适用样本数 \(m \lt 10000\) \(m \ge 10000\)